Содержание
- 1. На цветочном рынке Маша купила 156 хризантем, 312 тюльпанов и 390 роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
- 2. В шахматном кружке провели турнир — каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?
- 3. В выпуклом 2024-угольнике длины всех диагоналей не превосходят 1. Какое наибольшее количество сторон длины 1 может быть в этом 2024-угольнике? Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
- 4. Империя Горных гномов состоит из 2023 королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие 1012 королевств, которые производят не менее 50% золота и не менее 50% алмазов (от общего производства в империи)?
- 5. Сколько существует различных квадратных трехчленов f(x) = x 2 + px + q с целыми коэффициентами p, q, для которых выполнены два условия: 1. f(2023) = 202524; 2. уравнение f(x) = 0 имеет целый корень.
- 6. Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга AB длиной l перпендикулярна полу и может ездить от точки a до точки b (расстояние между a и b равно 2l). Вторая часть конечности, штанга BC длиной 2l, свободно поворачивается относительно шарнира B. По штанге BC ползает красящая насадка K. Какую площадь стены сможет покрасить этот
- механизм?
1. На цветочном рынке Маша купила 156 хризантем, 312 тюльпанов и 390 роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Ответ: 78
2. В шахматном кружке провели турнир — каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?
Ответ: 5
3. В выпуклом 2024-угольнике длины всех диагоналей не превосходят 1. Какое наибольшее количество сторон длины 1 может быть в этом 2024-угольнике? Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Ответ: 2
4. Империя Горных гномов состоит из 2023 королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие 1012 королевств, которые производят не менее 50% золота и не менее 50% алмазов (от общего производства в империи)?
Ответ: Верно
5. Сколько существует различных квадратных трехчленов
f(x) = x
2 + px + q
с целыми коэффициентами p, q, для которых выполнены два условия:
1. f(2023) = 202524;
2. уравнение f(x) = 0 имеет целый корень.
Ответ: 4754
6. Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга AB длиной l перпендикулярна полу и может ездить от точки a до точки b (расстояние между a и b равно 2l). Вторая часть конечности, штанга BC длиной 2l, свободно поворачивается относительно шарнира B. По штанге BC ползает красящая насадка K. Какую площадь стены сможет покрасить этот
механизм?
Ответ:
