Содержание
- 1. Коля и Алиса бегают наперегонки. В каждом забеге кто-то один выигрывает, а другой – проигрывает, причем вероятность победы Коли составляет 0,2. В случае, если Коля выигрывает два забега подряд, то в следующем он решает немножко поддаться, и гарантировано проигрывает. Какова вероятность, что Коля выиграет ровно три забега из четырёх?
- 2. В треугольнике ABC величина угла C в два раза больше величины угла A, AC = 16, BC = 9. Найдите AB.
- 3. Известно, что число a=1+√5/2 называют золотым числом, и оно является корнем уравнения x2−x−1=0 Найдите значение выражения a10−55a в численном виде.
- 4. На доске 7х8 расставляют несколько фишек. Две фишки считаются близко расположенными, если из клетки, занятой одной из них, можно прийти в клетку, занятую другой фишкой, за 1 или за 2 хода. Каждый ход – это либо перемещение в соседнюю по диагонали клетку, либо ход шахматного коня (буквой Г). Какое наибольшее число фишек можно расставить на такую доску, чтобы никакие две фишки не были близко расположенными?
- 5. На уроке алгебры Вася и Петя записали в своих тетрадях многочлен x2+4x+6. Затем Вася заменил в своём многочлене какой-то коэффициент на не равное ему целое число а, а Петя в своём многочлене заменил какой-то коэффициент на не равное ему целое число b. При этом a было не равно b. После этого на доске они построили графики двух полученных многочленов. Оказалось, что эти графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами x=0 и x=1. Найдите модуль разности между числами a и b.
- 6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На прямой AB отметили точку K, симметричную точке A относительно точки B, и точку M — середину стороны BC. Найдите KM, если AB=3√3 и ∠BCA=30∘.
- 7. На доску выписали несколько последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них 52% нечётных, причем сумма всех выписанных нечётных чисел является квадратом, большим 200 и меньшим 2000. Найдите все варианты значений самого маленького числа.
1. Коля и Алиса бегают наперегонки. В каждом забеге кто-то один выигрывает, а другой – проигрывает, причем вероятность победы Коли составляет 0,2. В случае, если Коля выигрывает два забега подряд, то в следующем он решает немножко поддаться, и гарантировано проигрывает. Какова вероятность, что Коля выиграет ровно три забега из четырёх?
Ответ: 0.0208
2. В треугольнике ABC величина угла C в два раза больше величины угла A, AC = 16, BC = 9. Найдите AB.
Ответ: 15
3. Известно, что число a=1+√5/2 называют золотым числом, и оно является корнем уравнения x2−x−1=0 Найдите значение выражения a10−55a в численном виде.
Ответ: 34
4. На доске 7х8 расставляют несколько фишек. Две фишки считаются близко расположенными, если из клетки, занятой одной из них, можно прийти в клетку, занятую другой фишкой, за 1 или за 2 хода. Каждый ход – это либо перемещение в соседнюю по диагонали клетку, либо ход шахматного коня (буквой Г). Какое наибольшее число фишек можно расставить на такую доску, чтобы никакие две фишки не были близко расположенными?
Ответ: 14
5. На уроке алгебры Вася и Петя записали в своих тетрадях многочлен x2+4x+6. Затем Вася заменил в своём многочлене какой-то коэффициент на не равное ему целое число а, а Петя в своём многочлене заменил какой-то коэффициент на не равное ему целое число b. При этом a было не равно b. После этого на доске они построили графики двух полученных многочленов. Оказалось, что эти графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами x=0 и x=1. Найдите модуль разности между числами a и b.
Ответ:
6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На прямой AB отметили точку K, симметричную точке A относительно точки B, и точку M — середину стороны BC. Найдите KM, если AB=3√3 и ∠BCA=30∘.
Ответ:
7. На доску выписали несколько последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них 52% нечётных, причем сумма всех выписанных нечётных чисел является квадратом, большим 200 и меньшим 2000. Найдите все варианты значений самого маленького числа.
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно.
2. Сколько всего чисел было записано на доску? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно.
3. Найдите самое маленькое из записанных чисел. В качестве ответа вводите натуральное число. Если вариантов ответа несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания.
Ответ: