Ответы на вопросы Олимпиада ВСОШ Сириус Математика 11 класс 1 группа

1. На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел a1 > aq > … > a5. Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди а чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать О. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 5, 3, 1. Какая последовательность была записана на доске?

Ответ: 4, 3, 3, 2, 2

2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется чётной?

Ответ: 1/2

2.2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 6 карточек с числами от 1 до 6. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?

Ответ: 7/12

3. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 48 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?

Ответ: 824

3.2. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первые две трети монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 20% монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?

Ответ: 878

4. На сторонах АС и ВС, а также на продолжении стороны АВ равностороннего треугольника АВС отмечены точки F, D и Е соответственно так, что D — середина EF. Длины отрезков BD и DC приведены на рисунке. Найдите EF2.

Ответ: 268

5. Коэффициенты многочлена Р(х) — неотрицательные целые числа. Известно, что P(2) = 100, P(P(2)) = 201061016. Найдите значение Р(0). Найдите значение Р(1).

Ответ: Р(0) — 16, Р(1) — 35.

6. Задание 6. Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 69. Затем Петя называет своё число от 1 до 51. После этого Наташа называет число от 1 до 54 . Если сумма всех трёх названных чисел делится на 68, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты.

Ответ: 13, 14, 15, 16

7. Пусть x, y, z такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства: xlog2(yz)=212⋅58, ylog2(zx)=26⋅52, zlog2(xy)=210⋅510. Найдите значение произведения xyz. Укажите все подходящие варианты.

Ответ: 3200

8. Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии d друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом 1.5 метра. Пусть прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке O на той же плоскости, причём проекция O на l совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки O до точки l на рисунке. При разных значениях d число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны. Башня T полностью видна, если отрезки касательных из точки O до башни T не пересекают (но могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.

Ответ: 19