Содержание
- 1. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 x 3. Он состоит из 11 красных 16 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
- 1.2. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 x 3. Он состоит из 10 красных и 17 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 x 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
- 1.3. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 х 3. Он состоит из 13 красных и 14 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
- 1.4. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 х 3 х 3. Он состоит из 12 красных и 15 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
- 2. Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 47. Найдите a. Найдите b.
- 2.2. Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 67. Найдите a. Найдите b.
- 2.3 Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 73. Найдите a. Найдите b.
- 2.4 Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 53. Найдите a. Найдите b.
- 3. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
- 3.2. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
- 3.3. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
- 4. На плоскости проведены 32 прямые, причём каждая параллельна ровно трём другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
- 4.2. На плоскости проведены 24 прямые, причём каждая параллельна ровно двум другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
- 4.3. На плоскости проведены 30 прямых, причём каждая параллельна ровно двум другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
- 5. По кругу стоят 60 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 5.2. По кругу стоят 40 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 5.3. По кругу стоят 50 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 5.4. По кругу стоят 30 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 6. В каждом столбце, в каждой строке и в каждой выделенной фигуре таблицы должно быть по одной букве A, B, C, D, E. Таблицу заполнили частично.
- 7. Роботы‑рекультиваторы ликвидируют последствия разлива радиоактивного вещества, снимая верхний слой почвы с участка. Вся загрязнённая почва может быть убрана одним роботом за 42 часа. Ангар с первым роботом располагается в 1 км от участка, со вторым в 2 км и т. д. Все роботы выехали из ангаров одновременно и начинали удаление почвы, как только достигали участка. Когда последний робот добрался до участка, оказалось, что загрязнённую почву только что полностью убрали. Известно, что первый робот убрал в шесть раз больше предпоследнего. Производительность и скорость передвижения всех роботов одинакова. Сколько часов снимал почву первый робот? Сколько часов первый робот ехал до поля?
- 8. В государстве 28 городов располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены.Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов A, B, C из одной области, чтобы дороги AB , BC и CA обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
1. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 x 3. Он состоит из 11 красных 16 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: Наименьшая — 10. Наибольшая — 27
1.2. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 x 3. Он состоит из 10 красных и 17 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 x 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: 12, 28
1.3. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 x 3 х 3. Он состоит из 13 красных и 14 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной? Какая наибольшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: 18, 34
1.4. Из 27 кубиков размером 1 х 1 х 1 сложили куб 3 х 3 х 3. Он состоит из 12 красных и 15 синих кубиков. Какая наименьшая площадь поверхности куба 3 х 3 х 3 может быть красной?
Ответ: 16, 32
2. Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 47. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 23. b = 24.
2.2. Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 67. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 33 b = 34
2.3 Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 73. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 36, b = 37
2.4 Даны два квадрата с целыми сторонами a и b (a<b). Площадь изображенного прямоугольника равна 53. Найдите a. Найдите b.
Ответ: a = 26 b = 27
3. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
Ответ: -6 6 18
3.2. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
Ответ: -8 4 20
3.3. Назовем горизонталь, вертикаль или одну из двух главных диагоналей квадрата рядом. В квадрате 3 х 3 расставили числа так, что для любого его ряда верно, что число, расположенное в его середине, вдвое меньше суммы крайних чисел этого ряда. Из квадрата стёрли некоторые числа. Восстановите их.
Ответ: -2 10 22
4. На плоскости проведены 32 прямые, причём каждая параллельна ровно трём другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
Ответ: 448
4.2. На плоскости проведены 24 прямые, причём каждая параллельна ровно двум другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
Ответ: 252
4.3. На плоскости проведены 30 прямых, причём каждая параллельна ровно двум другим и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения у этих прямых?
Ответ: 405
5. По кругу стоят 60 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 30
5.2. По кругу стоят 40 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20
5.3. По кругу стоят 50 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20, 30
5.4. По кругу стоят 30 чередующихся стульев: чёрных и белых. На стулья сели представители двух племён: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый сидящий на белом стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, есть рыцарь. Каждый сидящий на чёрном стуле заявил, что среди двух человек, следующих за ним по часовой стрелке, нет рыцаря. Сколько рыцарей могло сидеть за столом? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 15
6. В каждом столбце, в каждой строке и в каждой выделенной фигуре таблицы должно быть по одной букве A, B, C, D, E. Таблицу заполнили частично.
Какая буква расположена в отмеченной клетке?
7. Роботы‑рекультиваторы ликвидируют последствия разлива радиоактивного вещества, снимая верхний слой почвы с участка. Вся загрязнённая почва может быть убрана одним роботом за 42 часа. Ангар с первым роботом располагается в 1 км от участка, со вторым в 2 км и т. д. Все роботы выехали из ангаров одновременно и начинали удаление почвы, как только достигали участка. Когда последний робот добрался до участка, оказалось, что загрязнённую почву только что полностью убрали. Известно, что первый робот убрал в шесть раз больше предпоследнего. Производительность и скорость передвижения всех роботов одинакова. Сколько часов снимал почву первый робот? Сколько часов первый робот ехал до поля?
Ответ:
Сколько часов снимал почву первый робот = 12
Сколько часов первый робот ехал до поля = 2
8. В государстве 28 городов располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены. Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов A, B, C из одной области, чтобы дороги AB , BC и CA обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
Ответ: 53