Содержание
- 1. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 15 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 15. Сколько всего домов на улице Круглой?
- 1.2. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 12 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 12. Сколько всего домов на улице Круглой?
- 1.3. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 14 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 14. Сколько всего домов на улице Круглой?
- 1.4. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 13 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 13. Сколько всего домов на улице Круглой?
- 2. На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 4, CB = 6. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
- 2.2. На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 8, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
- 2.3. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если *AB = 8*, *CB = 12*. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
- 2.4. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 6, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
- 3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001001-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22 …?
- 3.2. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001004-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22…?
- 3.3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001003-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22 …?
- 3.4. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001002-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22 …?
- 4. Сумма двух дробей z/x и y/3 (x, y, z — натуральные числа) равна 7/13.Какое наименьшее значение может принимать z?
- 4.2. Сумма двух дробей z/x и y/2 (x, y, z — натуральные числа) равна 8/11. Какое наименьшее значение может принимать z?
- 4.3. Сумма двух дробей z/x и y/2 (x, y, z — натуральные числа) равна 10/13. Какое наименьшее значение может принимать z?
- 4.4. Сумма двух дробей z/x и y/3 (x, y, z — натуральные числа) равна 5/11. Какое наименьшее значение может принимать z?
- 5. Уравнение (x2−ax+b)(x2−(a+96)x+b)=0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 27, 28, 29, 210). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение abab?
- 6. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 8 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.
- 7. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Две прямые, делящие углы между диагоналями AC и BD пополам, пересекают: одна стороны AB и CD в точках M и K, вторая стороны BC и DA в точках N и L. Найдите отношение MN:KL, если известно, что OA:OB:OC:OD = 2:3:2:4.
- 8. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246. Найдите периметр прямоугольника.
1. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 15 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 15. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 18
1.2. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 12 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 12. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 14
1.3. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 14 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 14. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 16
1.4. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 13 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 13. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 16
2. На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 4, CB = 6. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 13
2.2. На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 8, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 41
2.3. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если *AB = 8*, *CB = 12*. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 52
2.4. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 6, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 34
3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001001-значного числа
121122111222111122221…111…11222…22 …?
Ответ: 500501
3.2. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001004-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22…?
Ответ: 500504
3.3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001003-значного числа
121122111222111122221…111…11222…22 …?
Ответ: 500503
3.4. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001002-значного числа
121122111222111122221…111…11222…22 …?
Ответ: 500502
4. Сумма двух дробей z/x и y/3 (x, y, z — натуральные числа) равна 7/13. Какое наименьшее значение может принимать z?
Ответ: 8
4.2. Сумма двух дробей z/x и y/2 (x, y, z — натуральные числа) равна 8/11. Какое наименьшее значение может принимать z?
Ответ: 5
4.3. Сумма двух дробей z/x и y/2 (x, y, z — натуральные числа) равна 10/13. Какое наименьшее значение может принимать z?
Ответ: 7
4.4. Сумма двух дробей z/x и y/3 (x, y, z — натуральные числа) равна 5/11. Какое наименьшее значение может принимать z?
Ответ: 4
5. Уравнение (x2−ax+b)(x2−(a+96)x+b)=0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 27, 28, 29, 210). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение abab?
Ответ: 38
6. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 8 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.
Ответ: 16 км/ч
7. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Две прямые, делящие углы между диагоналями AC и BD пополам, пересекают: одна стороны AB и CD в точках M и K, вторая стороны BC и DA в точках N и L. Найдите отношение MN:KL, если известно, что OA:OB:OC:OD = 2:3:2:4.
Ответ: 4/7
8. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246. Найдите периметр прямоугольника.
Ответ: 34