Содержание
- 1. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников не являются квадратами 5 х 5?
- 1.2. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 3 х 3?
- 1.3. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 6 х 6?
- 1.4. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 4 х 4?
- 2. Сумма двух чисел равна корень из 69, а разность — корень из 37. Чему равно их произведение?
- 2.2. Сумма двух чисел равна корень из 65, а разность — корень из 29. Чему равно их произведение?
- 2.3. Сумма двух чисел равна корень из 75, а разность — корень из 31. Чему равно их произведение?
- 2.4. Сумма двух чисел равна корень из 77, а разность — корень из 53. Чему равно их произведение?
- 3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана ВМ, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ALM.
- 3.2. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит высоту ВН отношении 5:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDH.
- 3.3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит биссектрису ВЕ в отношении 6:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и CDE.
- 3.4. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана CN, которая делит высоту АН в отношении 7:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и BNH.
- 4. Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(40) = 20. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(500).
- 4.1. Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(25) = 26. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(400).
- 4.2. Функция f удовлетворяет условию f(x+ y) =f(x) f(y) для всех неотрицательных чисел х, у. Известно, что f(20) 25. Найдите f(0). Найдите f(10).
- 5. Параболу, являющуюся графиком функции у = 2х2, отразили относительно прямой, описанной уравнением у = x + 3. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay2 + by + c.
- 5.1. График функции у = 5х2 отразили относительно прямой, описанной уравнением у = 1 — х. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы х = ay2 + by + c.
- 5.2. Параболу, являющуюся графиком функции y=4×2, отразили относительно прямой, описанной уравнением y=x+1. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x=ay2+by+c.
- 6. Демьян выкладывает картонные квадраты 2×2 вдоль диагонали квадрата 3×3 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 23/3 .
- 7. У Васи есть 20 картонных квадратов 1×1 , стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4×5.Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
- 7.1. У Васи есть 35 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 7. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
- 7.2. У Васи есть 30 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
- 7.3. У Васи есть 24 картонных квадрата 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
- 8. У натуральных чисел a , b наибольший общий делитель НОД ( a , b) равен 3. Найдите все возможные значения НОД(a2+ab+b2, a2+4ab+b2). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 8.1. У натуральных чисел m, n наибольший общий делитель — НОД(m, n) — равен 11.Найдите все возможные значения НОД(m² — 2mn + n², m² + 9mn + n²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 8.2. У натуральных чисел a, b наибольший общий делитель — НОД(a, b) — равен 7.Найдите все возможные значения НОД(a² — 2ab + b², a² + 5ab + b²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
- 8.3. У натуральных чисел p, q наибольший общий делитель — НОД(p, q) — равен 5. Найдите все возможные значения НОД(p² + 2pq + q², p² + 7pq + q²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников не являются квадратами 5 х 5?
Ответ: 1280
1.2. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 3 х 3?
Ответ: 1260
1.3. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 6 х 6?
Ответ: 1287
1.4. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 4 х 4?
Ответ: 1271
2. Сумма двух чисел равна корень из 69, а разность — корень из 37. Чему равно их произведение?
Ответ: 8
2.2. Сумма двух чисел равна корень из 65, а разность — корень из 29. Чему равно их произведение?
Ответ: 9
2.3. Сумма двух чисел равна корень из 75, а разность — корень из 31. Чему равно их произведение?
Ответ: 11
2.4. Сумма двух чисел равна корень из 77, а разность — корень из 53. Чему равно их произведение?
Ответ: 6
3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана ВМ, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ALM.
Ответ: 8
3.2. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит высоту ВН отношении 5:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDH.
Ответ: 5
3.3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит биссектрису ВЕ в отношении 6:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и CDE.
Ответ: 12
3.4. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана CN, которая делит высоту АН в отношении 7:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и BNH.
Ответ: 7
4. Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(40) = 20. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(500).
Ответ: 0, 3, 39
4.1. Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(25) = 26. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(400).
4.2. Функция f удовлетворяет условию f(x+ y) =f(x) f(y) для всех неотрицательных чисел х, у. Известно, что f(20) 25. Найдите f(0). Найдите f(10).
Ответ: 1; 5; 3125
5. Параболу, являющуюся графиком функции у = 2х2, отразили относительно прямой, описанной уравнением у = x + 3. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay2 + by + c.
Ответ: a=2, b=-12, с=15
5.1. График функции у = 5х2 отразили относительно прямой, описанной уравнением у = 1 — х. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы х = ay2 + by + c.
Ответ: a=5, b=10, с=-4
5.2. Параболу, являющуюся графиком функции y=4×2, отразили относительно прямой, описанной уравнением y=x+1. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x=ay2+by+c.
Ответ: a=4; b=−8; c=3
6. Демьян выкладывает картонные квадраты 2×2 вдоль диагонали квадрата 3×3 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 23/3 .
Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 255/32? Число Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы 62√?
Ответ:
7. У Васи есть 20 картонных квадратов 1×1 , стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4×5. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
Ответ:
7.1. У Васи есть 35 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 7. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.2. У Васи есть 30 картонных квадратов 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.3. У Васи есть 24 картонных квадрата 1 × 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4 × 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
8. У натуральных чисел a , b наибольший общий делитель НОД ( a , b) равен 3. Найдите все возможные значения НОД(a2+ab+b2, a2+4ab+b2). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 9, 27