Ответы на вопросы Олимпиада ВСОШ Сириус Математика 10 класс 1 груп

1. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 1.5∘. Сколько сторон у меньшего многоугольника?

Ответ: 45

1.2. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 0.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?

Ответ: 72

1.3. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 6 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 2°. Сколько сторон у большего многоугольника?

Ответ: 36

1.4. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 1.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?

Ответ: 40

2. В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая. Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью 34 снова будет солнечно. Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью 1\3 будет солнечно. Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно?

Ответ: 11/16

2.2. В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая. Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью 2/3 будет солнечно. Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно? Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью 4/5 снова будет солнечно.

Ответ: 58/75

2.3. В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или безветренная. Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью 2/3 будет безветренно. Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено? Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью 1/5 снова будет ветрено.

Ответ: 23/75

2.4. В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая. Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью 1/3 будет солнечно. Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно? Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью 3/4 снова будет солнечно.

Ответ: 11/16

3. На склад поступили 11 11 шаров разного диаметра: 25 , 20, 26, 24, 17, 26, 26, 12, 16, 26, 12. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 26, 20, 21 , 10, 12 , 18, 17 , 23 , 12 , 19 , 21. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?

Ответ: 6

4. На бирже 13 компаний. Для каждой пары компаний верно, что ровно одна из них купила акции другой: либо компания A вложилась в компанию B, либо компания B вложилась в компанию A. Одна из компаний известна под названием «Альфа». Выберите все утверждения, которые обязательно верны: Есть компания, которая вложилась ровно в 6 других компаний Существует компания, которая вложилась как минимум в 6 других В компанию «Альфа» инвестировали не более 5 других Как минимум 12 компаний получили инвестиции хотя бы от одной другой

• Есть компания, которая вложилась ровно в 6 других компаний 
• Существует компания, которая вложилась как минимум в 6 других
• В компанию «Альфа» инвестировали не более 5 других = неверно!
• Как минимум 12 компаний получили инвестиции хотя бы от одной другой

5. Какое наименьшее значение принимает функция f(f(f(x))), если f(x)=x2+16x+61?

Ответ: 897

5.1. Какое наименьшее значение принимает функция f(f(f(x))), если f(x) = x² + 14x + 47?

Ответ: 898

5.2. Какое наименьшее значение принимает функция f(f(f(x))), если f(x) = x² + 12x + 34?

Ответ: 398

6. На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы прямые. Точка Q соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).Найдите расстояние от точки Q до стороны AB. Найдите длину отрезка AQ.

7. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 4 раза, а если уменьшит на n, то увеличится в 5 раз. Найдите n.

Ответ: 217

8. У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10,3,8, 14, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 16 ,17 ,13 ,6 , 21. Юра выбирает натуральное число N, записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение N может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 11, 12, 15